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再往前走,小步慢跑

时间:2019-08-25 13:10来源:科学研究
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今日学院:暂无。||新闻 ||符号大全、上下标.|| 常用:↑↓ π ΓΔΛμφΣ∈∉∪ ∩⊆ ⊇ ⊂ ⊃≤ ≥ ≠≃⁻⁰¹ ² ³ ᵈxi₀ ₁₂₃ᵢₐ.

“基础”太多无助于垫高,反而会压垮人们。

做“习题”培养不出数学家。

(接前:090705) 命题5.5的证明.


(接前:111009) 命题5.5的温习.

(接前:121110) 命题5.5的温习.

Since nΩis integral and degHiΩ = d 1, the pair (Z, Supp belongs to a bounded family of pairs depending only on d, n.

(接前:050403) 命题5.5的证明.

叙述ab; 证明Step1Step2abcStep3Step4Step5abStep6

叙述ab; 证明Step1Step2abcStep3Step4Step5abStep6

----Ω 来自Kz 的 n-补 Kz Ω .

Step5. 第一段.

---- 昨天做了个粗线条的描绘*.

---- 昨天温习了Step6, 今天温习Step5.

---- n 是整化因子,使得nΩ的系数为整数.

Since W --> Z is a sequence of blowups toroidal with respect to , it is a sequence of toric blowups and W is a toric variety.

---- 这会儿想细究一下 Step6.

(Step6也再加点温,参末尾).

----degHiΩ = d 1 怎么来的?

---- Step2*准备了像空间的 blowups 序列.

---- 为此,先做个“基本功课”.

--------------> Z

---- 这里出现一个新配对,以Ω 与 Θ 的和之支撑集作为边界,与主集合Z 配对. 它属于有界族.

---- 即:W = Zl-->...-->Z0= Z.

按顺时针: 王 、侯、将、相.

----W 来源于 blowups 序列.

Therefore, there is a number u depending only on d, n such that (Z, Ω uΘ) is klt.

---- 此处指出该序列是 toric blowups.

---- 除W外,其余符号都在像空间Z 内.

---- 对“违和”[注]做MMP 即得 W',并且 -Kw' big.

---- 导出另一配对,边界为Ω uΘ.

---- 特别地,W 是 “toric variety”.

---- W 可看做 R 在 Z 上方用 blowup 生成的.

注:对blowups序列的前l-1个exceptional divisors 求和.

---- 此句话的实质是得到了数 u.

注:曾在网上见到一本书,封皮上写着“环簇”.

(W和W' 临时借用了“侯”位).

---- 对 -Kw' 做MMP 即得 W'', 并且 - Kw'' nef & big.

SinceΩw'≥0, we deduce that the coefficient of the birational transtrom of R in ψ*Θis at most 1/u which in turn implies μRφ*Θ≤1/u whereφdenotes W --> Z.

---- 暂不追究环簇的内容,知道它更基本即可.

---- Z 和 W 有blowup映射φ:W --> Z.

---- W, W', W'' 都是 toric; , , 都是 eps'-lc.

---- 这句话可能会出现在未来的习题集中.

Let E1,...,Elbe the exceptional divisors of W --> Z, with El= R.

---- Z 和 W' 有“违和” 映射ψ:W' --> Z.

---- 则 W'' 是 eps'-lc toric weak Fano variety.

On the other hand, since W --> Z is a sequence of centre blowups of R which is toroidal with respect to , we havel 1≤μRφ*Θ, by Lemma 2.17.

---- 每次 blowup 都会产生一个 exceptional divisor.

---- Z 和Θ 构成像配对,对应 .

---- 于是 属于有界族.

---- 引理2.7待温习.

---- 注意,Eᵢ的下标是从 1 开始的.

---- Z 和Ω构成n-补配对. 参Step5.

---- 从而 Kw'' 有 n-补Kw'' Ωw''.

---- 结合上句有:l 1≤μRφ*Θ≤1/u.

---- R 是最末尾的Eᵢ.

---- Z 和Θ,Ω 可构成复合支撑配对(Z, Supp.

---- 则 Kw' 有n-补Kw' Ωw',以及 Kz 有 n-补 Kz Ω .

Therefore,l≤p:=⌊1/u - 1⌋.

(R 该是 T 的像).

----Z 和Θ,Ω 还可构成复合配对.

注:Step5 共两段, 触发点是:1. MMP ~> W'; 2.给 W' 找边界 的回拉).

---- 按刚上句有:l新豪天地登录网址,≤1/u - 1.

We can run a toric MMP over Z on the divisorΣEᵢending with a toric variety W' equipped with a birational morphism ψ: W' --> Z.

---- R 和Θ 有关于ψ及φ的系数:μbirψ*Θ和μRφ*Θ.

评论:Step5 的最终成果是Ω.

---- 但命题要整数上界,于是原作对右端下取整.

注:其中的求和是从E1到 El-1.

Step6 的逻辑关系:

---- 附带1. 双有理态射 ψ: W' --> Z.

---- 下取整是因为l是正整数.

---- MMP 可看做某种变换.

  1. nΩ 整系数, degHiΩ = d 1 ==>(Z, Supp 属于有界族 ==> 存在u使 klt.

---- 附带2. Ωw'.

小结:命题5.5证明读写完毕.

---- 此处 MMP(ΣEᵢ) = W'.

2.Ωw' 非负 ==>μbirψ*Θ≤1/u ==>μRφ*Θ≤1/u.

---- 另,ψ 有唯一的 exceptional divisor, 即 bir.

第一段的落点是 W'.

---- 这样变出的 W' 也是 toric 的.

3.W --> Z {R, Z,Θ}cbt==>l 1≤μRφ*Θ. (Lemma 2.17).

小结:Step5 的轴心是做出关于 的 n-补.

1.. W --> Z 系 toric blowups 序列.

---- 并且带有双有理态射ψ: W' --> Z.

4.l≤⌊1/u -1⌋.

---- Step3,4费周折只为造出全局的eps'-lc型,后者专用于导出 W'',进而得到Ω.

  1. 对末尾以外的 exceptional divisors 求和.

  2. 在 Z 上方,对该和做 toric MMP 得到 W'.

  3. W' --> Z 系双有理态射.

The MMP contracts all the E1,...,El-1, so the birational transform of R = Elis the only exceptional divisor ofψ.

  1. 取 p =⌊1/u -1⌋.

---- 而这一切似乎只是为了得到更精致的上界(完美主义,or 另有深意?).

注:W 和 W' 都是 toric variety.

---- 该MMP 压缩E1,...,El-1,从而 R=El的双有理变换 是 ψ 的唯一的 exceptional divisor.

---- 1 的落点是得到 u.

---- 若只为得到blowups序列数的上界,有引理2.17就够了.

1.W' 预配对,需找一边界.

---- 这句话令人费解.

---- 2 的落点是末尾的不等式.

加温:Step6 图解.

  1. 主集合派出 Kw' 对外交涉.

  2. 找到Step4第二段的落点 .

  3. 对其运算形 Kz Δ 做回拉得 Kw' Δw'.

  4. 得边界Δw' (effective), 其负柄 -Kw' big.

  5. 后者上做MMP 得 W'' , 其负柄-Kw'’ nb.

  6. 和 皆为 eps'-lc 型.

  7. 由此 W'' 系 eps'-lc toric weak Fano variety.

  8. 则由[7], W'' 属于有界族.

  9. 则有 n>1 使得 |-nKw''| base point free;

  10. Kw'' 有 n-补 Kw'' Ωw'' .

  11. 由此得 Kw' 的 n-补 Kw' Ωw',

---- “R=El的双有理变换” 是指什么?

---- 3 的落点是末尾的不等式.

---- Z 和 W 有blowup映射φ.

13 以及 Kz 的 n-补 Kz Ω .

---- 前半句和后半句存在因果关系吗?

---- 2, 3 抓两头得到 4.

---- Z 和 W' 有“违和”映射 ψ.

注:7. 未交待Δw'' 而直接使用.

评论:Step5 第一段共四句话,是接着 Step2 说的 (Step2 是给Step3,4,5做准备). 前两句是做准备,后两句是MMP及后果.

加评:原作的证明更像个梗概,这里也只是符号化和条理化. 细节待考.

---- Z 和 Θ 构成像配对, log smooth, reduced.

---- 推测跟Δw' 的来由一样.

温习:Step4. 像空间中: 1) 采用加权法构造符合边界 D = Θ t/2C,证明是 eps'-lc 型配对(eps' = t/2eps). 大思路是按定义,即考察泛函a的估计. 要点是取Z上的素除子 E 和它的中心 I. 按 I 是否经过 z,是否是 stratum 分情况讨论,并应用关于泛函a的“边界分配律”. 2) 证明是 eps'-lc 型,KZ Δ~R0. 总之,派生出两个新的边界,对应的配对都是eps'-lc型.

---- 依次写出该段涉及的符号和公式.

---- Z 和 Ω 构成“n-补”配对.

注:11. klt 该是就相应配对而言.

评论:早先感到奇怪,命题中为何出现两个边界*,原来是要通过加权法构造复合边界.

  1. degHᵢΩ= d 1

  2. (Z, Supp

  3. μRφ*Θ≤1/u

  4. W --> Z {R, Z,Θ}cbt

---- Z 和Θ、Ω 可构成支撑配对(Z, Supp.

注:12. 原作未明说但相应配对也该是klt.

Leonhard EulerCarl Friedrich GaussGrothendieck

10.l 1≤μRφ*Θ

----Z 和Θ、Ω 还可构成复合配对.

----- Z ------

Glossary

Abstract8/4

Introduction

Boundedness of singular Fano varieties 8/5

Boundedness of singular Fano varieties 8/6

Boundedness ofsingularFano varieties 8/7

Boundedness ofsingularFano varieties 8/8

Boundedness ofsingularFanovarieties 8/9

Boundedness ofsingularFanovarieties8/9

Jordan property of Cremona groups8/10

Lc thresholds of lR-linear systems 8/11

Lc thresholds of anti-log canonical systems of Fano pairs 8/12

Lc thresholds of anti-log canonical systems of Fano pairs 8/13

Lc thresholds of R-linear systems with bounded degree 8/14

Complements near a divisor8/15

.Proposition 5.211/9

Proposition 5.5. 11/5

11.l≤p: =⌊1/u -1⌋

---- R和Θ关于ψ 和φ有系数 μbirψ*Θ 和μRφ*Θ.

注:整个证明是从左到右发展,再从右到左回来.

注:6和9是根据原文描述引入的.

  1. nΩ 整系数,degHiΩ = d 1 ==>(Z, Supp 属于有界族==> 存在u,使得klt.
  1. 从W 到 W' 是对 “违和” 做MMP.

  2. 从W' 到 W'' 是对 “负柄” 做MMP.

  3. W' 的负柄 big,而 W'' 的负柄 nb (nef&big).

  4. W, W', W'' 均 toric; 和 均eps'-lc.

  5. W'' 系 eps'-lc toric Weak Fano,属于有界族.

  6. 推出 Kw'' 的n-补后,反推出 Kw' 和 Kz 的n-补.

数一数大写字母的个数:

2.Ωw' 非负 ==>μbirψ*Θ≤1/u ==>μRφ*Θ≤1/u.

注意:Z, W', W'' 都跟 Δ配对,W 从未和Δ配对.

Ω 5 全出现在前5个条目.

  1. W --> Z{R, Z,Θ}cbt==>l 1≤μRφ*Θ.

  2. 由 2 和 3得:l ≤⌊1/u -1⌋.

  3. 取 p =⌊1/u -1⌋.

“违和” ---- 指 blowups 序列 W-->Z 尾部以外的 exceptional divisors 求和.

评论:前四个符号起到主要作用.

以上逻辑的三个“触发点”:

“负柄” ---- 指主集合的“权柄”之相反数.

Leonhard EulerCarl Friedrich GaussGrothendieck

nΩ ~ Hi~> u.

“权柄” ---- 如,主集合为 W',则“权柄”是指 Kw'.

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Boundedness ofsingularFanovarieties 8/9

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Jordan property of Cremona groups8/10

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Lc thresholds of anti-log canonical systems of Fano pairs 8/12

Lc thresholds of anti-log canonical systems of Fano pairs 8/13

Lc thresholds of R-linear systems with bounded degree 8/14

Complements near a divisor8/15

Proposition 5.211/9

Proposition 5.511/5

Ωw'~>μRφ*Θ≤1/u.

注:“定制”指供个人使用,不作为正式名词.

W~>l 1≤μRφ*Θ.

Leonhard EulerCarl Friedrich GaussGrothendieck

评论:Step6的“轴心”是第三个触发点.

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Complements near a divisor8/15

Proposition 5.211/9

Proposition 5.511/5

---- 前两个使结果更精致.

Leonhard EulerCarl Friedrich GaussGrothendieck

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